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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
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Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

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1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
l) f(x)=2ex−2f(x)=2 e^{x}-2

Respuesta

Si ya viste el video de funciones exponenciales que te dejé en el curso, entonces ya podés venir a resolver los ejercicios. ¡Empecemos! Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes. Hallemos el conjunto de ceros: 2ex−2=0 2 e^{x}-2=0 2ex=22 e^{x}=2 ex=1e^{x}=1 x=ln⁡(1) x=\ln (1) 
x=0x=0 • C0=0C^{0} = 0
Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como C0=0C^{0} = 0, eso significa que la función corta o toca al eje xx, pero tenemos que evaluar su valor en los dos intervalos: (−∞,0)(-\infty, 0)  y  (0,+∞)(0, +\infty) Tomamos un valor cualquiera dentro del primer intervalo y evaluamos la función:
f(−1)=2e−1−2=−1,2642f(-1)=2 e^{-1}-2=-1,2642


Hacemos lo mismo para el segundo intervalo:
f(1)=2e1−2=3,4365 f(1)=2 e^{1}-2=3,4365 

Por lo tanto: • C+=(0,+∞)C^{+} =(0, +\infty)
  • C−=(−∞,0)C^{-} = (-\infty, 0) Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:  2ex−2=y2ex=y+2ex=y+22x=ln⁡(y+22)y−1=ln⁡(x+22) \begin{gathered} 2 e^{x}-2=y \\ 2 e^{x}=y+2 \\ e^{x}=\frac{y+2}{2} \\ x=\ln \left(\frac{y+2}{2}\right) \\ y^{-1}=\ln \left(\frac{x+2}{2}\right) \end{gathered} Para hallar su dominio, analizamos el argumento. x+22>0x+2>0x>−2 \begin{gathered} \frac{x+2}{2}>0 \\ x+2>0 x>-2 \end{gathered}   Domf−1=(−2;+∞)Domf^{-1} = (-2 ;+\infty) • Imf=(−2;+∞)Imf =(-2 ;+\infty) Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:
lim⁡x→∞2ex−2=∞ \lim _{x \rightarrow \infty} 2 e^{x}-2=\infty Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: lim⁡x→−∞2ex−2=2e−∞−2=2(1e∞)−2=2(1∞)=2(0)−2=−2\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 e^{x}-2=2 e^{-\infty}-2=2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)-2=2\left(\frac{1}{\infty}\right)=2(0)-2=-2   • Hay AH en y=−2y=-2 por izquierda La gráfica nos quedaría así: 

2024-05-08%2013:12:13_4744359.png

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Teresa
23 de enero 14:44
Hola!!!! Consulta.. para hallar la imagen a traves del dominio de la inversa me esta dando ( -2, mas infinito ). me podrias indicar por donde ando fallando?. gracias.
0 Responder
Julieta
PROFE
23 de enero 18:00
@Teresa Hola Tere! No estás fallando en nada, lo hiciste perfecto!
1 Responder